"Ensinar é um exercício de imortalidade. De alguma forma continuamos a viver naqueles cujos olhos aprenderam a ver o mundo pela magia da nossa palavra. O professor assim não morre jamais..."

quinta-feira, 31 de maio de 2012

Exercícios de raciocínio lógico



01. (ICMS-SP/2006/FCC) Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma mesma característica lógica em comum, enquanto uma delas não tem essa característica.
I. Que belo dia!
II. Um excelente livro de raciocínio lógico.
III. O jogo terminou empatado?
IV. Existe vida em outros planetas do universo.
V. Escreva uma poesia.
A frase que não possui essa característica comum é a
a) I.                 b) II.                c) III.               d) IV.               e) V.


02. Considere a seguinte sentença aberta: “x é um número real e x2 > 5”. Nesse caso, se x = 2, então a proposição será F, mas, se x = –3, então a proposição será V.

03. (ICMS-SP/2006/FCC) Considere as seguintes frases:
I. Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005.
II. (x+ y)/5 é um número inteiro.
III. João da Silva foi o secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em 2000.

É verdade que APENAS:
a) I e II são sentenças abertas.              
b) I e III são sentenças abertas.
c) II e III são sentenças abertas.                       
d) I é uma sentença aberta.
e) II é uma sentença aberta.


04. (TCE-PB/2006/FCC) Sabe-se que sentenças são orações com sujeito (o termo a respeito do qual se declara algo) e predicado (o que se declara sobre o sujeito). Na relação seguinte há expressões e sentenças:
1. Três mais nove é igual a doze.
2. Pelé é brasileiro.
3. O jogador de futebol.
4. A idade de Maria.
5. A metade de um número.
6. O triplo de 15 é maior do que 10.

É correto afirmar que, na relação dada, são sentenças apenas os itens de números
a) 1,2 e 6.         b) 2,3 e 4.         c) 3,4 e 5.         d) 1,2,5 e 6.      e) 2,3,4 e 5.


05. (PM-BA 2009/FCC) Define-se sentença como qualquer oração que tem sujeito (o termo a respeito do qual se declara alguma coisa) e predicado (o que se declara sobre o sujeito). Na relação que segue há expressões e sentenças:
1. Tomara que chova!
2. Que horas são?
3. Três vezes dois são cinco.
4. Quarenta e dois detentos.
5. Policiais são confiáveis.
6. Exercícios físicos são saudáveis.
De acordo com a definição dada, é correto afirmar que, dos itens da relação acima, são sentenças APENAS os de números
(A) 1, 3 e 5.      (B) 2, 3 e 5.      (C) 3, 5 e 6.      (D) 4 e 6.         (E) 5 e 6.



Gabarito
1.D  2.C  3.A  4.A  5.C 

Proposições



Chama-se proposição toda oração declarativa que pode ser valorada em verdadeira ou falsa, mas não as duas.
p: Pedro é médico.
q: 5 < 8

Sentenças abertas
Quando a sentença possui uma variável, nós dizemos que ela é uma sentença aberta. Ela tem um termo que varia, o que impede julgá-la em verdadeiro ou falso. Logo, não é proposição.
x + 5 = 10
“Ele ganhou o Oscar de melhor ator em 2001”. (Quem é ele?)


Proposições simples; proposições compostas
Serão proposições simples aquelas que vêm sozinhas, desacompanhadas de outras proposições.
Ex.: Todo homem é mortal.

Todavia, se duas (ou mais) proposições vêm conectadas entre si, formando uma só sentença, estaremos diante de uma proposição composta. Exemplos:
- João é médico e Pedro é dentista.
- Maria vai ao cinema ou Paulo vai ao circo.


Valores lógicos das proposições
Na linguagem do raciocínio lógico, ao afirmarmos que é verdade que Pedro é médico (proposição p acima), representaremos isso apenas com: VL(p) = V, ou seja, o valor lógico de p é verdadeiro. No caso da proposição q, que é falsa, diremos VL(q) = F.

quarta-feira, 30 de maio de 2012

Data histórica

Quarta-feira, dia 20 de fevereiro de 2002 foi uma data histórica. Durante um minuto, houve uma conjunção de números que somente ocorre duas vezes por milênio.

Essa conjugação ocorreu exatamente às 20 horas e 02 minutos de 20 de fevereiro do ano 2002, ou seja, 20:02 20/02 2002.

É uma simetria que na matemática é chamada de capicua (algarismos que dão o mesmo número quando lidos da esquerda para a direita, ou vice-versa). A raridade deve-se ao fato de que os três conjuntos de quatro algarismos são iguais (2002) e simétricos em si (20:02, 20/02 e 2002).

A última ocasião em que isso ocorreu foi às 11h11 de 11 de novembro do ano 1111, formando a data 11h11 11/11/1111. A próxima vez será somente às 21h12 de 21 de dezembro de 2112 (21h12 21/12/2112). Provavelmente não estaremos aqui para presenciar. 
Depois, nunca mais haverá outra capicua. Em 30 de março de 3003 não ocorrerá essa coincidência matemática, já que não existe a hora 30.

Fonte: www.somatematica.com.br

terça-feira, 29 de maio de 2012

Casos típicos de fatoração

Fatorar significa transformar uma adição de duas ou mais parcelas em uma multiplicação de dois ou mais fatores, de modo que o resultado da adição seja o mesmo que o resultado da multiplicação.
1. Fator comum
Quando os termos apresentam fatores comuns
ax + ay = a.(x+y)

2. Agrupamento

Consiste em aplicar duas vezes o caso do fator comum em alguns polinômios especiais.
                            ax + ay + bx + by

Os dois primeiros termos possuem em comum o fator a , os dois últimos termos possuem em comum o fator b. Colocando esses termos em evidência:
                            a.(x+y) + b.(x+y)

Este novo polinômio possui o termo (x+y) em comum. Assim colocando-o em evidência:      (x+y).(a+b)

3. Diferença de quadrados

Consiste em transformar as expressões em produtos da soma pela diferença, simplesmente extraindo a raiz quadrada de cada quadrado
x² - 9 = (x + 3) (x – 3)

4. Quadrado perfeito

O trinômio que se obtém quando se eleva um binômio ao quadrado chama-se trinômio quadrado perfeito.
Por exemplo, os trinômios ( a² + 2ab + b²) e ( a² - 2ab + b²) são quadrados perfeitos porque são obtidos quando se eleva (a+b) e (a-b) ao quadrado, respectivamente.
                
 (a + b)² = a² + 2ab + b²         (a - b)² = a² - 2ab + b²
 
   
5. Cubo perfeito

x³ ± 3x²y + 3xy² ± y³ = (x ± y)³

6. Adição de cubos

x³ ± y³ = (x ± y) . (x² ± xy + y²)

7. Trinômio do 2° grau

ax² + bx + c = a (x – r1)(x – r2) onde r1 e r2 são raízes do trinômio.


Problemas matemáticos

Veja como resolver alguns problemas matemáticos
1. Problemas com velocidade
Sendo d a distância percorrida a uma velocidade v constante num tempo t, tem-se:
d = v . t
2. Problemas de vazão constante
Sendo V o volume de um líquido acumulado em conseqüência de uma vazão constante num tempo x, tem-se:
V = v/t
Lembre-se:
Se um corpo “ajuda” o outro teremos velocidade relativa igual a soma das duas velocidades.
VR = VA + VB
Se um corpo “atrapalha” o outro teremos:
VR = VA – VB
3. Problemas do 1° grau
Nesse caso iremos trabalhar com duas variáveis conseqüentemente teremos que montar duas equações.
Ex.: Um fazendeiro cria porcos e pássaros num total de 50 animais e 180 pés. Quantos porcos e pássaros ele possui?
Porcos = x                              pássaros = y
1 porco = 4 pés                       1 pássaro = 2 pés
Total de pés = 4x                   total de pés = 2y

x + y = 50
4x + 2y = 180
                   
x = 40 porcos              y = 10 pássaros

4. Problemas envolvendo idades
Observar sempre o presente e o passado de cada idade, ao ler-se.
A variação de idade do presente e do passado é sempre igual para cada idade das pessoas analisadas.
Ex.: Pedro tem hoje o dobro da idade de João, há cinco anos ele tinha o triplo. Qual é a idade de Pedro hoje?
hoje = x                      hoje = y
há 5 anos: x – 5          há 5 anos: y – 5

x = 2y
x – 5 = 3(y – 5)                      resolvendo temos x = 20

segunda-feira, 28 de maio de 2012

Critérios de Divisibilidade


Para alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem regras que permitem verificar a divisibilidade sem se efetuar a divisão. Essas regras são chamadas de critérios de divisibilidade.

a) Por 2: Um número natural é divisível por 2 quando ele é par.
b) Por 3: Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3.
Ex: 234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+3+4=9, e como 9 é divisível por 3, então 234 é divisível por 3. 

c) Por 4: Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4.
Ex: 4116 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4.

d) Por 5: Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5.

e) Por 6: Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.

f) Por 7: Multiplica-se o algarismo da unidade por 2 e subtrai do número que sobrou. Se o resultado for um número divisível por 7 ele também será:
Ex: 119 (11 – 18 = -7) como -7 é divisível por 7, logo 119 também será.

g) Por 8: Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8.
Ex: 56104 é divisível por 8, pois 104 é divisível por 8.

h) Por 9: Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 9.

i) Por 10: Um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0.

j) Por 11: Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par é divisível por 11.
O algarismo das unidades é de 1ª ordem, o das dezenas de 2ª ordem, o das centenas de 3ª ordem, e assim sucessivamente.
Ex: 87549
    Si (soma das ordens ímpares) = 9+5+8 = 22
    Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11
    Si-Sp = 22-11 = 11
    Como 11 é divisível por 11, então o número 87549 é divisível por 11.


l) Por 12: Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4.

m) Por 15: Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5.